Kort jest wychowankiem Pogoni. Na Twardowskiego trafił w wieku 6 lat. W ekstraklasie pomocnik w granatowo-bordowych barwach rozegrał jak dotychczas 43 mecze, w których strzelił 8 goli. W rozgrywkach o mistrzostwo Polski Dawid Kort debiutował w Szczecinie 2 czerwca 2013 roku w pojedynku z Polonią Warszawa. Piłkarz występował także na wypożyczeniu we Flocie Świnoujście i Drutexie Bytovii Bytów, które grały na zapleczu ekstraklasy.